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高中數學解題思想方法技巧:杠桿開門 以輕撥重

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杠桿開門  以輕撥重?
●計名釋義?
派大力士扛千斤鼎,靠的是力;用四兩砣撥千斤鼎用的是智.杠桿原理,以輕撥重,要考慮兩個因素:一是支力;二是支點.支力,從解題人的學科知識中尋找;支點,從解題人的思想方法中尋找.?
其實,智的體現,集中于支點的尋找,找得越巧越省力.?
支點中的點在哪里,本書開場就是“點到成功”,可以去問問“芝麻”.數學中的好點多著呢!重合點,對稱點,極限點,中心點,定比分點,……,要有盡有.關鍵是,你面臨的那個具體問題,你看中了哪個亮點!??
●典例示范?
【例1】   正四面體的高線長為4,求其外接球的體積.?
【分析】   說曹操,曹操就到.剛剛拿出來杠桿,要“扛”的東西就來了.線段AB的重心在其中點M點.如果A,B處各放1個質點,則其點M會聚了2個質點.正三角形ABC的重心在它的中線CM上,C點放1個質點,中點M處有2個質點,故重心G會聚了3個質點,按杠桿原理,CG=2GM.?
至于正四面體中心在哪里?這還用得算嗎??
【解答】   設正四面體的頂點為V,底面中心為G,四面體中心為O. 由杠桿原理,O在GV的第1個四等分點上,即VO=3OG.?
因此,正四面體的外半徑R= h=3.?
故正四面體體積為 πR3=36π.?
【點評】   如果派大力士去解此題,他將是:①先解2個直角三角形求得“斜高”;②用列方程求外半徑.精力過剩者,這當然是一種樂趣.??

【例2】 直線l左移3個單位,再上移1個單位時,恰回到原來的位置,這直線的
斜率是                                                              (      )?
?A.                B.-3               C.                D.3??
【思考】   本題的破題之口在哪兒呢?取特殊點.將支點選在原點O(0,0)左移3個單位,上移1個單位得M(-3,1).?
于是k+l=kOM= .選?A?.?
【點評】   兩點確定一條直線,而斜率相等的一切不同直線都平行,這就是本題解法的依據,或“道理”.試問:什么樣的直線平行移動后,可以不經過原點呢?既如此,取特殊點原點,以達到杠桿開門,以輕撥重之目的,即是最實惠的選擇.??
【例3】   (04•上海卷)若函數f (x)的圖象可由函數y=lg(x+1)的圖象繞坐標原點O逆時針旋轉 得到,則f (x)=                                                (      )?
?A?.10-x-1           B?.10x-1            C?.1-10-x?            D?.1-10x??
【解答】   本題的杠桿在哪兒?取特殊點.在y=lg(x+1)的圖象上取一點A(9,1),將OA繞原點逆時針旋轉90°得B(-1,9),代入各選項,僅?A?適合,∴選?A?.?
【點評】   函數的圖象都是點的集合,以點的旋轉取代圖形的旋轉,已經夠特殊的了,而在無窮無盡的點中,敏銳的找到A(9,1),(經過旋轉則得B(-1,9))這樣絕妙的特征點,從而輕而易舉地找出正確的答案,這難道不痛快淋漓的嗎???
【例4】   如圖(1)所示,在多面體ABCDEF中,已知面ABCD是邊長為3的正方形,EF∥AB,EF= ,EF與面AC的距離為2,則該多面體的體積是           (      )?









                                   例4題圖

?A.                B.5               C.6               D. 
?
【思考】   用特殊圖形.如圖(2)所示,使ED⊥平面ABCD,且使ED=2.連AF、DF.則EF⊥面ADE.?
∵VF—ADE= •EF•S△ADE= ×3×2= .?
VF—ABCD= •DE•S□ABCD= •2•32=6.?∴V多面體= +6= .選D.?
【點評】   本題正是1999年難倒大批考生的全國高考題.多數考生感到難的原因是直接對原圖進行割補,因而計算繁雜.其實,在不影響題設這個大前提的條件下,讓圖形特殊、再特殊,使之能用最簡單的方式求其體積,你還要講道理嗎?君不見:等底等高的一切錐體等積,歷經了幾千年考驗的祖暅原理,難道還不算經典道理嗎?   ???
●對應訓練?
1.動點A在雙曲線 =1上,B、C為雙曲線的左、右焦點,△ABC中∠A、∠B、∠C的對邊a,b,c滿足a=10,c-b=6,則?tan cot 的值是   (      )?
?A.                B?.                ?C.                 D.1??
2.已知0<x<y<a<1,則有   (      )?
?A.log a(xy)<0         B.0<log a(xy)<1         C.1<log a(xy)<2       D.log a(xy)>2?
3.設{an}是公比為a,首項為b的等比數列,Sn是前n項和,對任意的n∈N+,點(Sn,
Sn+1)   (      )?
?A.在直線y=ax-b上                 B.在直線y=bx+a上
C.在直線y=bx-a上                   D.在直線y=ax+b上
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